Polinomial
1.polinomial
Polinomial atau suku banyak merupakan bentuk suku-suku yang banyaknya terhingga dan tersusun atas perubahan variable dan konstanta. Operasi yang berlaku pada polinomial hanyalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, serta pangkat bilangan bulat yang tidak bernilai negatif atau pecahan.
Contoh bilangan polinomial :
F(×) = ×^6 - 5×^5 + 2×^3 + 3×^2 - 2
Dalam mengerjakan polinomial ini bisa menggunakan tiga cara,yaitu :
1). Cara Subtitusi
=> adalah cara yang penyelesaiannya dengan memasukkan nilai x ke persamaan tersebut.
2). Cara Horner
=> adalah cara penyelesaiannya dengan membuat tabel terlebih dahulu lalu memasukan koefisien secara berurutan dari yang tertingggi ke yang terendah.
3). Cara bersusun
=> adalah cara penyelesaiannya dengan menyusun pangkat dari yang tertinggi sampai ke yang rendah lalu oprasikan.
1.polinomial
Polinomial atau suku banyak merupakan bentuk suku-suku yang banyaknya terhingga dan tersusun atas perubahan variable dan konstanta. Operasi yang berlaku pada polinomial hanyalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, serta pangkat bilangan bulat yang tidak bernilai negatif atau pecahan.
Contoh bilangan polinomial :
F(×) = ×^6 - 5×^5 + 2×^3 + 3×^2 - 2
F(×) = ×^5 + 4×^3 - × + 7
Contoh bilangan bukan polinomial :
F(×) = 2×^-3 + ×^1/3 - 5× - 15
F(×) = 3×^3 - ×^1/2 - × + 8
Dalam mengerjakan polinomial ini bisa menggunakan tiga cara,yaitu :
=> adalah cara yang penyelesaiannya dengan memasukkan nilai x ke persamaan tersebut.
2). Cara Horner
=> adalah cara penyelesaiannya dengan membuat tabel terlebih dahulu lalu memasukan koefisien secara berurutan dari yang tertingggi ke yang terendah.
3). Cara bersusun
=> adalah cara penyelesaiannya dengan menyusun pangkat dari yang tertinggi sampai ke yang rendah lalu oprasikan.
Contoh soal :
F(×) = ×^6 - 5×^5 + 2×^3 + 3×^2 - 2 : × + 1
1. Cara subtitusi
F(×) = ×^6 - 5×^5 + 2×^3 + 3×^2 - 2 : × + 1
Maka pertama-tama yang harus kita lakukan adalah mencari nilai ×,
dengan : × + 1= 0 => × = -1
F(×) = ×^6 - 5×^5 + 2×^3 + 3×^2 - 2 : × + 1
Maka pertama-tama yang harus kita lakukan adalah mencari nilai ×,
dengan : × + 1= 0 => × = -1
F(×) = ×^6 - 5×^5 + 2×^3 + 3×^2 -2 : × + 1
F(×) = (-1)^6 - 5(-1)^5 + 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2
F(×) = 1 - (-5) + (-2) + 3 - 2
F(×) = 5
F(×) = (-1)^6 - 5(-1)^5 + 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2
F(×) = 1 - (-5) + (-2) + 3 - 2
F(×) = 5
2. Cara horner
F(×) = ×^6 - 5×^5 + 2×^3 + 3×^2 - 2 : × + 1
Maka pertama-tama yang harus kita lakukan adalah membuat tabel dan menyusun koefisien secara berurutan dari yang tertinggi ke yang terendah dengan nilai × + 1= 0 => × = -1, maka :
¦ 1 -5 0 2 3 0 -2
-1
¦ -1 6 -6 -4 -7 7
_____________________________________
¦ 1 -6 6 -4 7 -7 5
Dengan :
F(×) = ×^6 - 5×^5 + 2×^3 + 3×^2 - 2 : × + 1
Maka pertama-tama yang harus kita lakukan adalah membuat tabel dan menyusun koefisien secara berurutan dari yang tertinggi ke yang terendah dengan nilai × + 1= 0 => × = -1, maka :
¦ 1 -5 0 2 3 0 -2
-1
¦ -1 6 -6 -4 -7 7
_____________________________________
¦ 1 -6 6 -4 7 -7 5
Dengan :
~ P(×) = × + 1
~ H(×)= ×^5 - 6×^4 + 6x^3 - 4x^2 + 7^x
~ S(×) = 5
~ H(×)= ×^5 - 6×^4 + 6x^3 - 4x^2 + 7^x
~ S(×) = 5
3. Cara bersusun
F(×) = ×^6 - 5×^5 + 2×^3 + 3×^2 - 2 : × + 1
Maka pertama-tama yang harus kita lakukan adalah menyusun pangkat dari yang terbesar ke yang terendah, maka :
F(×) = ×^6 - 5×^5 + 2×^3 + 3×^2 - 2 : × + 1
Maka pertama-tama yang harus kita lakukan adalah menyusun pangkat dari yang terbesar ke yang terendah, maka :
×^5 - 6×^4 + 6x^3 - 4x^2 + 7^x - 7
_____________________________________
× + 1 / x^6-5x^5 +0x^4 +2x^3 + 3x^2+0x -2
×^6 + x^5
_____________________________________
-6x^5+0x^4+2x^3+3x^2+0x-2
-6x5 – 6x4 -
_____________________________________ 6x^4+2x^3+3x2+0x-2
6x^4 + 6x^3
_____________________________________
-4x^3+3x^2+0x-2
-4x^3-4x^2 -
_____________________________________
7x^2+0x-2
7x^2+7x
_____________________________________ -7x-2
-7x-7 -
_____________________________________
5
Dengan :
~ P(×) = × + 1
~ H(×)= ×^5 - 6×^4 + 6x^3 - 4x^2 + 7^x - 7
~ S(×) = 5
_____________________________________
× + 1 / x^6-5x^5 +0x^4 +2x^3 + 3x^2+0x -2
×^6 + x^5
_____________________________________
-6x^5+0x^4+2x^3+3x^2+0x-2
-6x5 – 6x4 -
_____________________________________ 6x^4+2x^3+3x2+0x-2
6x^4 + 6x^3
_____________________________________
-4x^3+3x^2+0x-2
-4x^3-4x^2 -
_____________________________________
7x^2+0x-2
7x^2+7x
_____________________________________ -7x-2
-7x-7 -
_____________________________________
5
Dengan :
~ P(×) = × + 1
~ H(×)= ×^5 - 6×^4 + 6x^3 - 4x^2 + 7^x - 7
~ S(×) = 5
2.Algoritma pembagian
F(×) = P(×) . H(×) + S(×)
Keterangan :
F(×)=Fungsi polinomial
P(×)=Pembagian polinomial
H(×)=Hasil polinomial
S(×)=Sisa polinomial
Dalam menyelesaikan algoritma pembagian ini dapat diselesaikan dengan menggunakan dua cara,yaitu:
1).Cara bersusun
2).Cara horner
1).Cara bersusun
2).Cara horner
Contoh soal:
a).2×^3 + 3×^2 + 4× - 1 : × - 1
Jawab:
1.menggunakan cara bersusun
a).2×^3 + 3×^2 + 4× - 1 : × - 1
Jawab:
1.menggunakan cara bersusun
2x^2 + 5x + 9
__________________________
× -1 / 2x^3 + 3x^2 + 4x - 1
2x^3 - 2x^2 -
__________________________
5x^2 + 4x - 1
5x^2 – 5x -
__________________________
9x – 1
9x – 9 -
__________________________
8
__________________________
× -1 / 2x^3 + 3x^2 + 4x - 1
2x^3 - 2x^2 -
__________________________
5x^2 + 4x - 1
5x^2 – 5x -
__________________________
9x – 1
9x – 9 -
__________________________
8
Jadi,algoritma pembangginya adalah :
F(×) = P(×) . H(×) + S(×)
F(×) = (× - 1) (2×^2 + 5× + 9) + 8
F(×) = P(×) . H(×) + S(×)
F(×) = (× - 1) (2×^2 + 5× + 9) + 8
2.menggunakan cara horner
Pertama-tama kita harus mencari nilai ×, dengan : × - 1 = 0 => x = 1
¦ 2 3 4 -1
1
¦ 2 5 9
______________________________
Pertama-tama kita harus mencari nilai ×, dengan : × - 1 = 0 => x = 1
¦ 2 3 4 -1
1
¦ 2 5 9
______________________________
¦ 2 5 9 8
Jadi,algoritma pembangginya adalah :
F(×) = P(×) . H(×) + S(×)
F(×) = (× - 1) (2×^2 + 5× + 9) + 8
F(×) = P(×) . H(×) + S(×)
F(×) = (× - 1) (2×^2 + 5× + 9) + 8
Pembuktian :
(× - 1) (2×^2 + 5× + 9) + 8
2×^3 + 5×^2 + 9× -2×^2 -5× - 9 + 8
2×^3 + 3×^2 + 4× -1 (terbukti)
(× - 1) (2×^2 + 5× + 9) + 8
2×^3 + 5×^2 + 9× -2×^2 -5× - 9 + 8
2×^3 + 3×^2 + 4× -1 (terbukti)
b).Menentukan derajat dan jumlah koefisien dari nilai
f(×) = 3×^4 + 4×^3 - 2×^2 + × - 5
Jawab :
Derajat : 4,3,2,1,0
Jumlah pangkat : 3 + 4 - 2 + 1 - 5 = 1
f(×) = 3×^4 + 4×^3 - 2×^2 + × - 5
Jawab :
Derajat : 4,3,2,1,0
Jumlah pangkat : 3 + 4 - 2 + 1 - 5 = 1
c).Oprasikan dari nilai f(×) dan g(×) berikut: f(×) = 5×^4 + 3×^3 + 2×^2 + × - 5
g(×) = 3×^2 + 5× + 1
1.Penjumlahan.
f(×) + g(×) = (5×^4 + 3×^3 + 2×^2 + × - 5)
+ (3×^2 + 5× + 1)
= 5×^4 + 3×^3 + 2×^2 + × - 5
+ 3×^2 + 5× + 1
=5×^4 + 3×^3 + 5×^2 + 6× - 4
g(×) = 3×^2 + 5× + 1
1.Penjumlahan.
f(×) + g(×) = (5×^4 + 3×^3 + 2×^2 + × - 5)
+ (3×^2 + 5× + 1)
= 5×^4 + 3×^3 + 2×^2 + × - 5
+ 3×^2 + 5× + 1
=5×^4 + 3×^3 + 5×^2 + 6× - 4
2.Pengurangan
f(×) - g(×) = (5×^4 + 3×^3 + 2×^2 + × - 5)
- (3×^2 + 5× + 1)
= 5×^4 + 3×^3 + 2×^2 + × - 5
- 3×^2 - 5× - 1
f(×) - g(×) = (5×^4 + 3×^3 + 2×^2 + × - 5)
- (3×^2 + 5× + 1)
= 5×^4 + 3×^3 + 2×^2 + × - 5
- 3×^2 - 5× - 1
3.Perkalian
f(×).g(×) = (5^4 + 3×^3 + 2×^2 + × - 5)
(3×^2 + 5× + 1)
= (15×^6 + 25×^5 + 5×^4) +
(9×^5 + 15×^4 + 3×^3) +
(6×^4 + 10×^3 + 2×^2) +
(3×^3 + 5×^2 + ×) -
(15^3 + 25× + 5)
= 15×^6 + 25×^5 + 5×^4 + 9×^5
+ 15×^4 + 3×^3 + 6×^4 +
10×^3 + 2×^2 + 3×^3 + 5×^2
+ × - 15^3 - 25× - 5
= 15×^6 + 34×^5 + 26×^4 + ×^3
+ 7×^2 - × - 5
3.Teorema
f(×).g(×) = (5^4 + 3×^3 + 2×^2 + × - 5)
(3×^2 + 5× + 1)
= (15×^6 + 25×^5 + 5×^4) +
(9×^5 + 15×^4 + 3×^3) +
(6×^4 + 10×^3 + 2×^2) +
(3×^3 + 5×^2 + ×) -
(15^3 + 25× + 5)
= 15×^6 + 25×^5 + 5×^4 + 9×^5
+ 15×^4 + 3×^3 + 6×^4 +
10×^3 + 2×^2 + 3×^3 + 5×^2
+ × - 15^3 - 25× - 5
= 15×^6 + 34×^5 + 26×^4 + ×^3
+ 7×^2 - × - 5
3.Teorema
Teorema ini terbagi menjadi dua bagian, yaitu :
1). Teorema faktor
=> jika suatu algoritma pembagian diuraikan dengan sisa bernilai nol maka itulah faktornya dan dikatakan faktor karena s(×) atau sisanya bernilai nol.
1). Teorema faktor
=> jika suatu algoritma pembagian diuraikan dengan sisa bernilai nol maka itulah faktornya dan dikatakan faktor karena s(×) atau sisanya bernilai nol.
Contoh soal :
2×^2 + 11× + 5 : × + 5
Jawab :
Jawab :
Menggunakan cara horner :
nilai x = -5
¦ 2 11 5
nilai x = -5
¦ 2 11 5
-5
¦ -10 -5
__________________________
¦ 2 1 0
¦ -10 -5
__________________________
¦ 2 1 0
Dengan :
~ P(×) = × + 5
~ H(×)= 2× + 1
~ S(×) = 0
~ P(×) = × + 5
~ H(×)= 2× + 1
~ S(×) = 0
Menggunakan cara bersusun :
2x + 1
_____________________
× + 5 / 2x^2 + 11x + 5
2x^2 + 10x -
_____________________
x + 5
x + 5 -
_____________________
0
Dengan :
~ P(×) = × + 5
~ H(×)= 2× + 1
~ S(×) = 0
Pembuktian :
F(×) = (× + 5) (2× + 1) + 0
F(×) = 2×^2 + × + 10× + 5
F(×) = 2×^2 +11× + × + 5 ( terbukti)
F(×) = (× + 5) (2× + 1) + 0
F(×) = 2×^2 + × + 10× + 5
F(×) = 2×^2 +11× + × + 5 ( terbukti)
Maka,faktornya adalah :
× + 5 = 0 dan 2× + 1 = 0
× = 5 2× = -1
× = -1/2
Jadi, Hp {-1/2 , 5}
× + 5 = 0 dan 2× + 1 = 0
× = 5 2× = -1
× = -1/2
Jadi, Hp {-1/2 , 5}
2). Teorema sisa
Dalam teorema sisa ini terbagi lagi menjadi tiga bagian, yaitu :
Dalam teorema sisa ini terbagi lagi menjadi tiga bagian, yaitu :
a.Teorema 1
=> jika suku banyak f(×) dibagi ×-k , maka bersisa f(k).
Contoh soal :
F(×) = ×^4 + 3×^3 - 2×^2 + × - 5 : × - 2
=> jika suku banyak f(×) dibagi ×-k , maka bersisa f(k).
Contoh soal :
F(×) = ×^4 + 3×^3 - 2×^2 + × - 5 : × - 2
Cara bersusun :
×^3 + 5x^2 + 8x +17
_____________________________
x - 2 / x^4 + 3x^3 – 2x^2 + x - 5
x^4 – 2x^3 -
_____________________________
5x^3 – 2x^2 + x – 5
5x^3 – 10x^2 -
_____________________________
8x^2 + x -5
8x^2 - 16x -
_____________________________
17x - 5
17x - 34 -
_____________________________
29
_____________________________
x - 2 / x^4 + 3x^3 – 2x^2 + x - 5
x^4 – 2x^3 -
_____________________________
5x^3 – 2x^2 + x – 5
5x^3 – 10x^2 -
_____________________________
8x^2 + x -5
8x^2 - 16x -
_____________________________
17x - 5
17x - 34 -
_____________________________
29
Cara horner :
¦ 1 3 -2 1 -5
¦ 1 3 -2 1 -5
2
¦ 2 10 16 34
_________________________________
¦ 1 5 8 17 29
¦ 2 10 16 34
_________________________________
¦ 1 5 8 17 29
Cara subtitusi :
Pertama-tama kita harus mencari nilai × dengan: × - 2 = 0 => × = 2
F(×) = ×^4 + 3×^3 - 2×^2 + × - 5
F(2) = (2)^4 + 3(2)^3 - 2(2)^2 + (2) - 5
F(2) = 16 + 24 - 8 + 2 - 5
F(2) = 29
b. Teorema 2
=>jika suku banyak f(×) dibagi a(×)-b , maka akan bersisa f(a/b).
Contoh soal :
=>jika suku banyak f(×) dibagi a(×)-b , maka akan bersisa f(a/b).
Contoh soal :
×^4 + 3×^3 + 2×^2 + × - 5 / 2× - 1
Jawab:
Cara horner :
¦ 1 3 2 1 -5
¦ 1 3 2 1 -5
1/2
¦ 1/2 7/4 15/8 23/16
_______________________________________
¦ 1/2 7/4 15/8 23/16
_______________________________________
¦ 1 7/4 15/4 23/8 57/16
Dengan :
~ H(×)= 1/2×^3+7/4×^2+15/8×+23/16
~ H(×)= 1/2×^3+7/4×^2+15/8×+23/16
~ P(×) = 2×-1
~ S(×) = 57/16
Cara bersusun :
1/2×^3 + 7/4×^2 + 15/8× + 23/16
____________________________________
____________________________________
2×-1 / ×^4 + 3×^3 + 2×^2 + × - 5
×^4 - 1/2×^3 -
____________________________________
____________________________________
7/2×^3 + 2×^2 + × - 5
7/2×^3 - 7/4×^2 -
____________________________________
____________________________________
15/4×^2 + × - 5
15/4×^2 - 15/8× -
____________________________________
____________________________________
23/8× - 5
23/8× - 23/16 -
____________________________________
____________________________________
57/16
Dengan :
~ P(×) = 1/2×^3+7/4×^2+15/8×+23/16
~ H(×)= 2×-1
~ S(×) = 57/16
c. Teorema 3
=> jika suatu suku banyak f(×) dibagi(× -a) (× - b) , maka sisanya adalah p× + q.
Dimana : f(a)= pa + q dan f(b) = pb + q
Contoh soal :
=> jika suatu suku banyak f(×) dibagi(× -a) (× - b) , maka sisanya adalah p× + q.
Dimana : f(a)= pa + q dan f(b) = pb + q
Contoh soal :
×^3 - 2×^2 + × + 1 : ×^2 - 3× + 2 =
×^3 - 2×^2 + × + 1 : (× - 2) (× - 1) =
Maka nilai a = 2 dan nila b = 1
×^3 - 2×^2 + × + 1 : (× - 2) (× - 1) =
Maka nilai a = 2 dan nila b = 1
F(×) = ×^3 - 2×^2 + × + 1
F(a) = a^3 - 2a^2 + a + 1
F(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + 2 + 1
F(2) = 8 - 8 + 2 + 1
F(2) = 3
F(a) = a^3 - 2a^2 + a + 1
F(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + 2 + 1
F(2) = 8 - 8 + 2 + 1
F(2) = 3
F(a) = pa + q
F(2) = p(2) + q
3 = 2p + q
2p + q = 3 ....pers 1
F(2) = p(2) + q
3 = 2p + q
2p + q = 3 ....pers 1
F(×) = ×^3 - 2×^2 + × + 1
F(b) = b^3 - 2b^2 + b + 1
F(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + 1 + 1
F(1) = 1 - 2 + 1 + 1
F(1) = 1
F(b) = b^3 - 2b^2 + b + 1
F(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + 1 + 1
F(1) = 1 - 2 + 1 + 1
F(1) = 1
F(b) = pb + q
F(1) = p(1) + q
1 = p + q
p + q = 1 ....pers 2
F(1) = p(1) + q
1 = p + q
p + q = 1 ....pers 2
Setelah mendapatkan dua persaman tersebut maka langkah selanjutnya adalah mencari nilai p dan nilai q dengan cara :
1.eliminasi salah satu variabel
Maka : 2p + q = 3
P + q = 1
P = 2
2. Subtitusi nilai p ke persamaan 2
Maka : p + q = 1
2 + q = 1
q = 1 - 2
q = -1
Maka : 2p + q = 3
P + q = 1
P = 2
2. Subtitusi nilai p ke persamaan 2
Maka : p + q = 1
2 + q = 1
q = 1 - 2
q = -1
Jadi sisa pembagiannya adalah :
P(×) + q => 2× + (-1) => 2× - 1
P(×) + q => 2× + (-1) => 2× - 1
Pembuktian :
× + 1
_________________________________
×^2 -3× + 2 / ×^3 - 2×^2 + × + 1
×^3 - 3×^2 + 2× -
_________________________________
×^2 - × + 1
×^2 - 3× + 2 -
_________________________________
2× - 1 (terbukti)
× + 1
_________________________________
×^2 -3× + 2 / ×^3 - 2×^2 + × + 1
×^3 - 3×^2 + 2× -
_________________________________
×^2 - × + 1
×^2 - 3× + 2 -
_________________________________
2× - 1 (terbukti)
Bagus blogna siska
BalasHapusTerimakasih. Semoga membantu okeh. 😁
HapusBagus,lengkap. Sangat bermanfaat
BalasHapusHehe. Insaallah bermamfaat 😊
BalasHapusMemberikan pelajaran yg sangat bermanfaat
BalasHapusGood 👍👍
Alhamdulilah.🙏🏻🙏🏻 Terimakasih acep 😊
BalasHapusAlhamdulilah.🙏🏻🙏🏻 Terimakasih acep 😊
BalasHapusSip
BalasHapusTelah diperiksa
Ahmad Septiadi, M.Pd
Bagus sangat bermanfaat :) 😁
BalasHapusBagus sangat bermanfaat :) 😁
BalasHapus